Bartel Leender van der Waerden (1903 - 1996): Algebra. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether

Springer, Berlin/Heidelberg/New York/..., 1950/1955/1966/1967/1971/1993

Vorwort

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Inhaltsverzeichnis Algebra 1

Inhaltsverzeichnis VII - IX
Erstes Kapitel. Zahlen und Mengen 3
§ 1. Mengen 3
§ 2. Abbildungen. Mächtigkeiten 5
§ 3. Die Zahlreihe 5
§ 4. Endliche und abzählbare Mengen 9
§ 5. Klasseneinteilungen 12

Zweites Kapitel. Gruppen 13
§ 6.Der Gruppenbegriff 13
§ 7.Untergruppen 20
§ 8. Das Rechnen mit Komplexen. Nebenklassen 24
§ 9. Isomorphismen und Automorphismen 27
§ 10. Homomorphie, Normalteiler und Faktorgruppen 29

Drittes Kapitel. Ringe und Körper 33
§ 11.Ringe 33
§ 12. Homomorphie und Isomorphie 40
§ 13.Quotientenbildung 41
§ 14.Polynomringe 45
§ 15. Ideale. Restklassenringe 48

Viertes Kapitel. Vektorräume und Tensorräume 62
§ 19. Vektorräume 62
§ 20. Die Invarianz der Dimension 65
§ 21. Der duale Vektorraum 68
§ 22. Lineare Gleichungen im Schiefkörper 69
§ 23. Lineare Transformationen 71
§ 24. Tensoren 76
§ 25. Antisymmetrische Multilinearformen und Determinanten 78
§ 26. Tensorprodukte, Verjüngung und Spur 82

Fünftes Kapitel. Ganzrationale Funktionen 84
§ 27. Differentiation 84
§ 28. Nullstellen 86
§ 29. Interpolationsformeln 88
§ 30. Faktorzerlegung 93
§ 31. Irreduzibilitätskriterien 96
§ 32. Die Durchführung der Faktorzerlegung in endlich vielen Schritten 98
§ 33. Symmetrische Funktionen 99
§ 34. Die Resultante zweier Polynome 103
§ 35. Die Resultante als symmetrische Funktion der Wurzeln 106
§ 36. Partialbruchzerlegung der rationalen Funktionen 108

Sechstes Kapitel. Körpertheorie 110
§ 37. Unterkörper. Primkörper 111
§ 38. Adjunktion 113
§ 39. Einfache Körpererweiterungen 114
§ 40. Endliche Körpererweiterungen 119
§ 41. Algebraische Körpererweiterungen 121
§ 42. Einheitswurzeln 126
§ 43. Galois-Felder (endliche kommutative Körper) 131
§ 44. Separable und inseparable Erweiterungen 134
§ 45. Vollkommene und unvollkommene Körper 139
§ 46. Einfachheit von algebraischen Erweiterungen. Der Satz vom primitiven Element 140
§ 47. Normen und Spuren 142

Siebentes Kapitel. Fortsetzung der Gruppentheorie 146
§ 48. Gruppen mit Operatoren 146
§ 49. Operationsisomorphismen und -homomorphismen 148
§ 50. Die beiden Isomorphiesätze 149
§ 51. Normalreihen und Kompositionsreihen 150
§ 52. Gruppen von der Ordnung pn 155
§ 53. Direkte Produkte 156
§ 54. Gruppencharaktere 159
§ 55. Die Einfachheit der alternierenden Gruppe 163
§ 56. Transitivität und Primitivität 165

Achtes Kapitel. Die Theorie von Galois 168
§ 57. Die Galoissche Gruppe 168
§ 58. Der Hauptsatz der Galoisschen Theorie 171
§ 59. Konjugierte Gruppen, Körper und Körperelemente 174
§ 60. Kreisteilungskörper 175
§ 61. Zyklische Körper und reine Gleichungen 182
§ 62. Die Auflösung von Gleichungen durch Radikale 184
§ 63. Die allgemeine Gleichung n-ten Grades 188
§ 64. Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades 191
§ 65. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 197
§ 66. Die Berechnung der Galoisschen Gruppe. Gleichungen mit symmetrischer Gruppe 202
§ 67. Normalbasen 205

Neuntes Kapitel Unendliche Körpererweiterungen 215
§ 68. Geordnete Mengen 209
§ 69. Auswahlpostulat und Zornsches Lemma 210
§ 70. Der Wohlordnungssatz 213
§ 71. Die transitive Induktion 213

Zehntes Kapitel. Unendliche Körpererweiterungen 215
§ 72. Die algebraisch-abgeschlossenen Körper 215
§ 73. Einfache transzendente Erweiterungen 221
§ 74. Algebraische Abhängigkeit und Unabhängigkeit 224
§ 75. Der Transzendenzgrad 227
§ 76. Differentiation der algebraischen Funktionen 229

Elftes Kapitel. Reelle Körper 234
§ 77. Angeordnete Körper 235
§ 78. Definition der reellen Zahlen 238
§ 79. Nullstellen reeller Funktionen 246
§ 80. Der Körper der komplexen Zahlen 251
§ 81. Algebraische Theorie der reellen Körper 253
§ 82. Existenzsätze für formal-relle Körper 258
§ 83. Summen von Quadraten 262

Sachverzeichnis 265 - 272

Inhaltsverzeichnis Algebra 2

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