"Aus der Computeralgebra ist in den vergangenen drei Jahrzehnten weit mehr geworden, als man
sich träumen ließ: Aus dem Forschungsprojekt einiger Pioniere entwickelte sich ein reichhaltiges
und eigenständiges Tätigkeitsfeld im Übergangsbereich zwischen Mathematik und Informatik, dessen
Produkte in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik zunehmend selbstverständlich
als Werkzeug eingesetzt werden.
In dem vorliegenden Report wird meines Wissens zum ersten Mal versucht, einen
möglichst umfassenden Überblick über dieses Gebiet zu geben. Hierzu gehören neben einer
Übersicht über die Forschungsschwerpunkte einige Berichte über Anwendungen, eine Beschreibung
aktueller Computeralgebrasysteme sowie Informationen über Fachtagungen und Publikationen. Der
letzte Teil enthält schließlich eine Aufstellung der Aktivitäten der Fachgruppe Computeralgebra
sowie eine Liste von Computeralgebra-Arbeitsgruppen in Deutschland.
Der Leitung der Fachgruppe ist für die Initiative zu dieser Bestandsaufnahme und
ganz besonders den beiden Herausgebern, den Herren Weispfenning und Grabmeier, für die damit
verbundene mühevolle Arbeit zu danken. Der Report legt beredte Rechenschaft darüber ab, in wie
großem Maße deutsche Mathematiker und Informatiker an der Begründung, Entwicklung und Anwendung
der Computeralgebra beteiligt waren und sind. Allen Beteiligten kann man zu dem vorliegendem
Report nur gratulieren.
Abschließend möchte ich der Hoffnung Ausdruck geben, daß die Computeralgebra
auch zukünftig ihre fruchtbare Doppelrolle spielen wird: als kreative Herausforderung für die
Entwicklung von Informatik-Werkzeugen und als Anreiz für das Gewinnen neuer Erfahrungen und
Einsichten der Mathematik und ihrer Anwendungen.
Einleitung
"Die Fachgruppe Computeralgebra der Gesellschaft für Informatik (GI), der Deutschen Mathematiker-
Vereinigung (DMV) und der Gesellschaft für angewandte Mathematik und Mechanik (GAMM) sieht es als
ihre Aufgabe an, Forschung, Lehre und Entwicklung, Informationsaustausch und Zusammenarbeit auf
dem Gebiet der Computeralgebra zu fördern. Sie legt deshalb mit diesem Report eine Übersicht über
das Gebiet und seine Anwendungen sowie eine Bestandsaufnahme der Computeralgebra-Aktivitäten in
Deutschland vor.
Die rasch ansteigende Mitgliederzahl auf über 1000 nach Gründung der Fachgruppe im Jahre 1987
zeigt, daß die Computeralgebra ein stark wachsendes Gebiet mit vielen Anwendungsmöglichkeiten
und großem Zukunftspotential ist. Wir haben versucht, dieser Entwicklung mit der vorliegenden
Dokumentation Rechnung zu tragen.
Das erste Kapitel enthält eine Charakterisierung und Abgrenzung der Computeralgebra, ihre
Auswirkungen auf Lehre und Forschung und mögliche Perspektiven.
Es schließen sich Übersichtsartikel über die Themen und Schwerpunkte der Computeralgebra an.
Daß die Vielfalt und der interdisziplinäre Charakter der Computeralgebra keine eindeutige
Anordnung der Teilbereiche zuläßt, die alle Querbezüge sichtbar macht und Überlappungen
weitgehend vermeidet, versteht sich von selbst. Wir haben aber unser Möglichstes getan, die
verschiedenen Ansichten, Stile und Gewichtungen der einzelnen Autoren in eine Form zu bringen,
die möglichst vielen Wünschen gerecht wird und ein ausgewogenes Bild der Computeralgebra zeichnet.
Das breite Anwendungsspektrum der Computeralgebra von der Physik und Mathematik über die
Informatik, die Ingenieurwissenschaften und die anderen Naturwissenschaften bis zu Problemen aus
der Wirtschaft wird an Hand ausgewählter Beispiele demonstriert.
Entscheidendes Hilfsmittel für diese Anwendungen sind die Computeralgebra-Systeme.
Systementwickler und gute Kenner der jeweiligen Systeme stellen diese im folgenden Kapitel
ausführlich vor. Dies dürfte die zur Zeit umfassendste Zusammenstellung aktueller
Computeralgebra-Systeme sein.
Das nächste Kapitel enthält eine Übersicht über regelmäßig stattfindende Fachkonferenzen, je
ein Verzeichnis von Konferenzberichten und Fachbüchern sowie Angaben zu einschlägigen Z
eitschriften.
Im letzten Kapitel werden einige Aktivitäten im Bereich der Computeralgebra in Deutschland
zusammengestellt. Es enthält eine Beschreibung der Tätigkeit der Fachgruppe und eine Einführung
in ihr elektronisches Informationssystem CAIS. Eine ausführlichen Liste von Arbeitsgruppen in
Deutschland mit ihren Arbeirsgebieten und den dort eingesetzten Computeralgebra-Systemen, die
aus einer von der Fachgruppe durchgeführten Umfrage entstanden ist, runden den Report ab."
Inhaltsverzeichnis
1 Entwicklung, Charakterisierung, Perspektiven 1
1.1 Historische Bemerkungen 1
1.2 Allgemeine Charakterisierung 2
1.3 Auswirkungen der Computeralgebra auf die Lehre 3
1.4 Auswirkungen der Computeralgebra auf die Forschung 5
1.5 Perspektiven6
2 Themen und Schwerpunkte 11
2.1 Exakte Arithmetik 11
2.1.1 Langzahlarithmetik 11
2.1.2 Polynome, rationale Funktionen und Potenzreihen 12
2.1.3 Euklidischer Algorithmus und Kettenbrüche 13
2.1.4 Modulares Rechnen und Chinesischer Restesatz 14
2.1.5 p-adische Zahlen und Approximationen 16
2.1.6 Endliche Körper 19
2.2 Algorithmen für Polynome und Potenzreihen 19
2.2.1 Der Divisionsalgorithmus 20
2.2.2 Faktorisieren von Polynomen 20
2.2.3 Gröbnerbasen 22
2.2.4 Standardbasen 23
2.2.5 Charakteristische Mengen 24
2.3 Konstruktive Methoden in der Zahlentheorie 26
2.3.1 Primzahlnachweise 26
2.3.2 Faktorisieren natürlicher Zahlen 29
2.3.3 Invarianten algebraischer Zahl- und Funktionenkörper 30
2.3.4 Galoisgruppen 31
2.3.5 Rationale Punkte auf elliptischen Kurven und allgemeineren Varietäten 32
2.3.6 Geometrie der Zahlen 33
2.4 Kommutative Algebra und algebraische Geometrie 37
2.4.1 Algorithmen für Polynomideale und deren Varietäten 37
2.4.2 Studium der Singularitäten von Varietäten 40
2.4.3 Reelle algebraische Geometrie 40
2.5 Algorithmische Aspekte der Algebrentheorie 45
2.6 Algorithmen der Gruppen- und Darstellungstheorie 48
2.6.1 Permutations- und Matrixgruppen 49
2.6.2 Polyzyklische Präsentationen 50
2.6.3 Generische Verfahren 50
2.6.4 Endlich präsentierte Gruppen 51
2.6.5 Gewöhnliche Darstellungstheorie 52
2.6.6 Modulare Darstellungstheorie 53
2.6.7 Generische Charaktere 53
2.6.8 Systeme 53
2.7 Algebraische Methoden bei der Konstruktion diskreter Strukturen 55
2.8 Summation und Integration 56
2.8.1 Definite Summation 56
2.8.2 Symbolische Integration 57
2.9 Symbolische Behandlung von Differentialgleichungen 61
2.9.1 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen: differentielle Galoistheorie 62
2.9.2 Differentialideale 64
2.9.3 Symmetrien 64
2.9.4 Partielle Differentialgleichungen: Punktsymmetrien 66
2.9.5 Partielle Differentialgleichungen: Lie-Bäcklund-Symmetrien 67
2.10 Computeranalytik 72
2.11 Algebraische Komplexitätstheorie 74
2.12 Algebraische Grundlagen der Codierungstheorie und Kryptographie 77
2.13 Algorithmische Methoden in der universellen Algebra und Logik 80
2.13.1 Termersetzungssysteme 80
2.13.2 Entscheidungsverfahren und Quantoreneliminations-Verfahren für algebraische Theorien 82
2.14 Wissensrepräsentation und Datentypen 85
2.14.1 Mathematische Wissensrepräsentation und Expertensysteme 85
2.14.2 Abstrakte Datentypen 88
2.15 Zum Entwurf von Computeralgebra-Systemen 91
2.15.1 Speicherverwaltung 91
2.15.2 Verifikation und abstrakte Datentypen 92
2.15.3 Typkonzept 92
2.15.4 Modularisierung 93
2.15.5 Parallele Implementierungen 93
2.15.6 Weiterentwicklung von Computeralgebra-Systemen 93
2.16 Schnittstellen und Standardisierung 94
2.16.1 Schnittstellen zu Textverarbeitungspaketen 94
2.16.2 Graphik 94
2.16.3 Schnittstellen zu numerischer Software 94
2.16.4 Benutzerschnittstellen 96
2.16.5 Standardisierung 96
2.17Hardware-Realisierungen 98
3 Anwendungen der Computeralgebra 101
3.1 Physik 101
3.1.1 Computeralgebra in der Elementarteilchenphysik 103
3.1.2 Computeralgebra in der Festkörperphysik am Beispiel von Quantenspinsystemen 105
3.1.3 Katalysierte kalte Kernfusion 107
3.1.4 Computeralgebra und relativistische Gravitationstheorie 107
3.1.5 Differentialgeometrie, Computeralgebra und deren Anwendung in Physik und Mathematik 109
3.1.6 Solitonen 111
3.1.7 Die Harry-Dym-Gleichung, ein Beispiel zur Illustration des Nutzens von Computeralgebra 113
3.2 Mathematik 118
3.2.1 Computereinsatz in der Gruppentheorie 118
3.2.2 Der Tangentialkegelalgorithmus und einige Anwendungen in der Singularitätentheorie 119
3.2.3 Computeralgebra-Anwendungen bei nicht linearen Systemen 123
3.2.4 Symbolisch-numerische Behandlung von äquivarianten Gleichungssystemen 126
3.2.5 Symbolisch-numerische Verfahren für Optimale Steuerungen 127
3.3 Informatik 130
3.3.1 Computeralgebra in der Informatik 130
3.3.2 Average-case-Analyse von Algorithmen 130
3.3.3 Telekommunikations-Management-Netzwerke 131
3.4 Ingenieurwissenschaften 132
3.4.1 Computeralgebra - ein zeitgemäßes Werkzeug der Forschung auf dem Gebiet der Ingenieurwissenschaften 132
3.4.2 Analyse und Synthese elektrischer Netzwerke 136
3.4.3 Knicklastberechnungen bei Flugzeugdüsen mit Computeralgebra-Methoden 138
3.5 Chemie 138
3.5.1 Computeralgebra in Chemie und Kristallographie 140
3.5.2 Chemische Reaktionssysteme 141
3.6 Biologie und Medizin 142
3.7 Wirtschaft und Ökonometrie 143
4 Computeralgebra-Systeme 145
4.1 Allzwecksysteme 145
4.1.1AXIOM 146
4.1.2 DERIVE 151
4.1.3 MACSYMA 157
4.1.4 MAPLE 158
4.1.5 MATHEMATICA 165
4.1.6 REDUCE 172
4.2 Systeme für parallele Architekturen 179
4.2.1 MuPAD 180
4.2.2 PARSAC 186
4.3 Systeme für spezielle Gebiete 188
4.3.1 ALDES/SAC-2 188
4.3.2 CAYLEY 191
4.3.3 CoCoA 195
4.3.4 FELIX 198
4.3.5 FORM 206
4.3.6 GAP 207
4.3.7 KANT-V2 212
4.3.8 LIE 218
4.3.9 MAS 222
4.3.10 MATHCAD 229
4.3.11 MACAULAY 229
4.3.12 PARI 235
4.3.13 SIMATH 240
4.3.14 SYMMETRICA 247
4.4 Experimentelle Systeme und Programmpakete 249
4.4.1 ALGEB 249
4.4.2 AMORE 249
4.4.3 CHEVIE 251
4.4.4 CREP 253
4.4.5 MASYA 254
4.4.6 MEAT-AXE 256
4.4.7 MOC 257
4.4.8 ORME258
4.4.9 QUOTPIC 258
4.4.10 REDUX 260
4.4.11 REPTILES 261
4.4.12 SENAC 262
4.4.13 SINGULAR 265
4.4.14 SISYPHOS 267
4.4.15 SymbMath 269
4.4.16 SYMMPAD 270
4.4.17 THEORIST 274
5 Konferenzen und Publikationen 281
5.1 Tagungen und Konferenzen 281
5.2 Tagungsbände 285
5.3 Bücher zur Computeralgebra 289
5.4 Zeitschriften 293
5.5 Reporte 295
6 Computeralgebra in Deutschland 297
6.1 Die Fachgruppe Computeralgebra der GI, DMV und GAMM 297
6.1.1 Beschreibung der Fachgruppe 297
6.1.2 Ordnung der Fachgruppe 298
6.1.3 Fachgruppenleitung 298
6.1.4 Beziehungen zur SIGSAM 299
6.2 Das Informationssystem CAIS 301
6.3 Computeralgebra-Arbeitsgruppen in Deutschland 304
6.3.1 Liste der Arbeitsgruppen 305
6.3.2 Ortsindex der Computeralgebra-Arbeitsgruppen 320