Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Einführung: Zur Lösung algebraischer Gleichungen 1
1 Elementare Gruppentheorie 8
1.1 Gruppen 9
1.2 Nebenklassen, Normalteiler, Faktorgruppen 15
1.3 Zyklische Gruppen 19
2 Ringe und Polynome 23
2.1 Ringe, Polynomringe einer Variablen 26
2.2 Ideale 32
2.3 Ringhomomorphismen, Faktorringe 35
2.4 Primfaktorzerlegung 42
2.5 Polynomringe in mehreren Variablen 52
2.6 Nullstellen von Polynomen 58
2.7 Der Satz von Gauß 59
2.8 Irreduzibilitätskriterien 65
2.9 Elementarteilertheorie* 68
3 Algebraische Körpererweiterungen 82
3.1 Die Charakteristik eines Körpers 84
3.2 Endliche und algebraische Körpererweiterungen 86
3.3 Ganze Ringerweiterungen* 93
3.4 Algebraischer Abschluß eines Körpers 100
3.5 Zerfällungskörper 107
3.6 Separable Körpererweiterungen 111
3.7 Rein inseparable Körpererweiterungen 119
3.8 Endliche Körper 123
3.9 Anfänge der algebraischen Geometrie* 126
4 Galois-Theorie 133
4.1 Galois-Erweiterungen 135
4.2 Proendliche Galois-Gruppen* 142
4.3 Die Galois-Gruppe einer Gleichung 154
4.4 Symmetrische Polynome, Diskriminante und Resultante* 163
4.5 Einheitswurzeln 178
4.6 Lineare Unabhängigkeit von Charakteren 187
4.7 Norm und Spur 190
4.8 Zyklische Erweiterungen 195
4.9 Multiplikative Kummer-Theorie* 201
4.10 Allgemeine Kummer-Theorie und Witt-Vektoren* 207
4.11 Galois-Descent* 226
5 Fortführung der Gruppentheorie 232
5.1 Gruppenaktionen 233
5.2 Sylow-Gruppen 238
5.3 Permutationsgruppen 246
5.4 Auflösbare Gruppen 250
6 Anwendungen der Galois-Theorie 256
6.1 Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen 257
6.2 Algebraische Gleichungen vom Grad 3 und 4* 265
6.3 Der Fundamentalsatz der Algebra 274
6.4 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 277
7 Transzendente Erweiterungen 285
7.1 Transzendenzbasen 286
7.2 Tensorprodukte* 292
7.3 Separable, primäre und reguläre Erweiterungen 304
7.4 Kalkül der Differentiale* 315
Anhang: Lösungshinweise zu den Aufgaben 325
Literatur 359
Symbolverzeichnis 360
Namen- und Sachverzeichnis 363 - 368