"Dieses Buch handelt von einem klassischen Problem der Algebra und seiner Geschichte. Beschrieben
wird die Suche nach Lösungsformeln für Polynomgleichungen in einer Unbekannten und wie die dabei
hinzunehmenden Mißerfolge letztlich zu Erkenntnissen ganz anderer Art führten und zwar zu solchen
mit höchst grundlegender Bedeutung.
...
Üblicherweise werden Galois´ Ideen heute in Lehrbüchern deutlich
abstrakter beschrieben. Unter Verwendung der schon erwähnten Klassen algebraischer Objekte
gelang es nämlich zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts, auch die so genannte Galois-Theorie
neu zu formulieren und zwar in der Weise, bei der bereits die Problemstellungen mittels solcher
Objekte beschrieben werden.
...
Um einen möglichst breiten Leserkreis - vorausgesetzt werden nur Kenntnisse, wie sie an einer
höheren Schule vermittelt werden - erreichen zu können, wurde bewußt von einer Darstellung
abgesehen, wie sie im Hinblick auf Allgemeinheit, Exaktheit und Vollständigkeit in
Standard-Lehrbüchern üblich und angebracht ist. Im Blickpunkt stehen vielmehr Ideen, Begriffe und
Techniken, die so weit vermittelt werden, daß eine konkrete Anwendung, aber auch Lektüre
weiterführender Literatur, möglich sein sollte.
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Deutlicher Wert gelegt wird auf die historische Entwicklung, und zwar zum einen, weil der
Aufschwung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten weit weniger bekannt ist als derjenige der
Naturwissenschaften, zum anderen, weil es durchaus spannend sein kann, persönlichen Irrtum und
Erkenntnisgewinn der zeitrafferartig verkürzten Entwicklung zuordnen zu können. Und außerdem
bietet eine dem historischen Weg der Erkenntnis folgende Darstellung den Vorteil, so manche
mathematische Abstraktion als natürlichen Abschluß von Einzeluntersuchungen erscheinen zu lassen,
so daß der Eindruck einer unmotiviert am Anfang stehenden Definition mit dem scheinbaren
Charakter einer vom Himmel gefallenen Beliebigkeit erst gar nicht entstehen kann. Gleichzeitig
wird ein großer Teil des Ballasts überflüssig, den eine an weitergehender Allgemeingültigkeit
orientierte Darstellung zwangsläufig haben muß. Nicht verschwiegen werden darf freilich auch ein
gravierender Nachteil: So wird manche aufwendige, wenn auch elementare Berechnung notwendig,
deren Ergebnis zumindest in qualitativer Hinsicht weit einfacher auf der Basis allgemeiner
Prinzipien hätte hergeleitet werden können.
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Entsprechend der historischen Entwicklung läßt sich die nachfolgende Darstellung der
Auflösbarkeit von Gleichungen in drei Teile gliedern:
- Klassische Methoden ...
- Systematische Untersuchungen ...
- Grenzen einer Auflösbarkeit durch Wurzelformeln ...
...
Für Leser, die ihre Kenntnis der Galois-Theorie nach der Lektüre dieses Buches vertiefen wollen,
kann als Fortsetzung eigentlich jedes Lehrbuch der Algebra beziehungsweise der Galois-Theorie
empfohlen werden. ... Aber auch umgekehrt stellt das vorliegende Buch zumindest in Bezug auf die
erörterten Beispiele und wohl auch im Hinblick auf die Motivation von algebraischen
Begriffsbildungen eine hilfreiche Ergänzung zu den gebräuchlichen Lehrbüchern der Algebra dar.
..."
Inhaltsverzeichnis
Einführung V
Die Auflösung von Gleichungen höherer Grade VI
Galois-Theorie VIII
Über dieses Buch XIII
Vorwort zur zweiten Auflage XVII
1 Kubische Gleichungen 1
2 Casus irreducibilis - die Geburtsstunde der komplexen Zahlen 10
3 Biquadratische Gleichungen 24
4 Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 28
5 Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln 38
6 Gleichungen, die sich im Grad reduzieren lassen 57
7 Die Konstruktion regelmäßiger Vielecke 65
8 Auflösung von Gleichungen fünften Grades 86
9 Die Galois-Gruppe einer Gleichung 98
10 Algebraische Strukturen und Galois-Theorie 134
Epilog 177
Stichwortverzeichnis 187 - 193
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