Vorwort
Vorwort zur deutschen Ausgabe
Inhalt
Vorwort
Vorwort zur deutschen Ausgabe
Inhalt
Kapitel 1. Mengen, Abbildungen und zweistellige Operationen
Übersicht Kapitel 1 1
1.1 Mengen 1
a. Grundlegende Bezeichnungen
b. Vereinigung und Durchschnitt
1.2 Kartesische Produkte 6
a. Definitionen
b. Äquivalenzrelationen
c. Zerlegungen und Äquivalenzrelationen
d. Die Quotientenschreibweise
1.3 Abbildungen 11
a. Definition der Abbildung
b. Formale Definition der Abbildung
c. Abbildungstypen
1.4 Zusammengesetzte Abbildungen 17
1.5 Zweistellige Operationen 19
a. Definition
b. Die Multiplikationstafel
Rückblick auf Kapitel 1 24
Kapitel 2. Gruppoide
Übersicht Kapitel 2 26
2.1 Gruppoide 26
a. Definition des Gruppoids
b. Gleichheit von Gruppoiden
2.2 Kommutative und assoziative Gruppoide 29
2.3 Neutrales und inverses Element in Gruppoiden 30
a. Das neutrale Element eines Gruppoids
b. Das inverse Element eines Gruppoids
2.4 Halbgruppen mit neutralem Element 33
a. Eindeutigkeit des Inversen
b. Die Halbgruppe der Abbildungen einer Menge in sich
c. Schreibweise für Abbildungen
d. Die Reihenfolge in einem Produkt
2.5 Homomorphismen von gruppoiden und der Satz von Cayley 40
a. Definition eines Homomorphismus
b. Epimorphismus, Monomorphismus und Isomorphismus
c. Eigenschaften von Epimorphismen
d. Bezeichnung und Isomorphismen
e. MX und Halbgruppen
Rückblick auf Kapitel 2 47
Kapitel 3. Gruppen und Untergruppen
Übersicht Kapitel 3 50
3.1 Gruppen 50
Definition. Beispiel: Gruppen von Zahlen
3.2 Untergruppen 54
3.3 Die symmetrischen und alternierenden Gruppen 56
a. Die symmetrische Gruppe auf X
b. Gerade und ungerade Permutationen
c. Die alternierenden Gruppen
d. Die Ordnung von An
3.4 Gruppen und Isometrien 64
a. Isometrien der Geraden
b. Zwei Punkte legen eine Isometrie fest
c. Isometrien der Ebene
d. Isometrien sind Produkte von Spiegelung, Translation und Drehung
e. Symmetriegruppen
f. Die Dihedralgruppen
3.5 Die Gruppe der Möbiustransformationen 77
a. Definition der Gruppe
b. 2x2-Matrizen
3.6 Symmetrien einer algebraischen Struktur 83
a. Automorphismen von Gruppoiden
b. Körper komplexer Zahlen
c. Automorphismen von Körpern
d. Vektorräume
e. Lineare Transformationen. Die volle lineare Gruppe
Rückblick auf Kapitel 3 91
Kapitel 4. Isomorphiesätze
Übersicht Kapitel 4 94
4.1 Grundlagen 94
a. Einleitende Bemerkungen
b. Mehr über Untergruppen
c. Exponenten
4.2 Zyklische Gruppen 101
a. Grundlegendes über zyklische Gruppen
b. Untergruppen zyklischer Gruppen
4.3 Nebenklassen 107
a. Einführung des Begriffs Nebenklasse
b. Nebenklassen bilden eine Zerlegung. Satz von Lagrange
c. Normalteiler
d. Kommutatoruntergruppen, Zentralisatoren, Normalisatoren
e. Faktorgruppen.
4.4 Hömomorphiesätze 117
a. Homomorphismen und Faktorgruppen: Der Homomorphiesatz
b. Korrespondenzsatz. Satz vom Faktor eines Faktors
c. Der Isomorphiesatz für Untergruppen
d. Homomorphismen zyklischer Gruppen
Rückblick auf Kapitel 4 127
Kapitel 5 Endliche Gruppen
Übersicht Kapitel 5 130
5.1 Die Sylowschen Sätze 130
a. Aussagen der Sylowschen Sätze
b. Zwei Hilfssätze zum Beweis der Sylowschen Sätze
c. Beweis der Sylowschen Sätze.
5.2 Theorie der p-Gruppen 139
a. Die Bedeutung der p-Gruppen in endlichen Gruppen
b. Das Zentrum einer p-Gruppe
c. Die aufsteigende Zahlenreihe
5.3 Direkte Produkte und Gruppen niedriger Ordnung 143
a. Direkte Produkte von Gruppen
b. Gruppen niedriger Ordnung: Ordnungen p und 2p
c. Gruppen niedriger Ordnung: Ordnungen 8 und 9
d. Gruppen niedriger Ordnung: Ordnungen 12 und 15
5.4 Auflösbare Gruppen 158
a. Definition auflösbarer Gruppen
b. Eigenschaften und alternative Definition auflösbarer Gruppen.
5.5 Kompositionsreihen und einfache Gruppen 163
a. Der Satz von Jordan-Hölder
b. Beweis des Satzes von Jordan-Hölder
c. Zyklen und Produkte von Zyklen
d. Transpositionen, gerade und ungerade Permutationen
e. Die Einfachheit von An, n>=a 5
Rückblick auf Kapitel 5 174
Kapitel 6. Abelsche Gruppen
Übersicht Kapitel 6 177
6.1 Einführung 178
a. Additive Schreibweise und endliche direkte Summen
b. Unendliche direkte Summen
c. Die Homomorphieeigenschaft direkter Summen und freie abelsche Gruppen
6.2 Einfache Klassifikation abelscher Gruppen und die Struktur von Torsionsgruppen 188
a. Vorläufige Klassifikation: periodisch, torsionsfrei, gemischt
b. Die Torsionsgruppe
c. Die Struktur von Torsionsgruppen. Prüfergruppen
d. Unabhängigkeit und Rang
6.3 Endliche erzeugte abelsche Gruppen 196
a. Lemmata über endlich erzeugte, freie abelsche Gruppen
b. Fundamentalsatz für abelsche Gruppen
c. Der Typ einer endlich erzeugten, abelschen Gruppe
d. Untergruppen endlich erzeugter, abelscher Gruppen.
6.4 Dividierbare Gruppen 205
a. p-Prüfergruppen. Dividierbare Untergruppen
b. Zerlegungssatz für dividierbare Gruppen
Rückblick auf Kapitel 6
Kapitel 7. Permutationsdarstellungen
Übersicht Kapitel 7 214
7.1 Satz von Cayley 214
a. Ein anderer Beweis zum Satz von Cayley
b. Der Satz von Cayley und Beispiele für Gruppen
7.2 Permutationsdarstellungen 216
7.3 Grad einer Darstellung und treue Darstellungen 217
a. Grad einer Darstellung
b. Treue Darstellungen
7.4 Permutationsdarstellungen auf Nebenklassen 218
7.5 Die Frobeniussche Variante des Satzes von Cayley 222
a. Der Kern einer Nebenklassendarstellung
b. Satz von Frobenius.
7.6 Anwendungen auf endlich erzeugte Gruppen 227
a Untergruppen mit endlichem Index
b. Bemerkungen zum Beweis von Satz 7.4
c. Satz von Marshali Hall
d. Eine Folgerung aus Satz 7.5
7.7 Erweiterungen 232
a. Allgemeine Erweiterung
b. Die zerfallende Erweiterung
c. Eine Analyse zerfallender Erweiterungen
d. Direktes Produkt
7.8 Der Transfer 240
a. Definition
b. Beweis, daß T Homomorphismus ist
c. Beweis, daß T unabhängig ist von der Wahl der Transversalen
d. Ein Satz von Schur
Rückblick auf Kapitel 7 243
Kapitel 8. Freie Gruppen und Präsentationen
Übersicht Kapitel 8 245
8.1 Grundlegende Begriffe 245
a. Definition einer freien Gruppe
b. Länge eines Elements. Alternative Definition einer freien Gruppe
c. Existenz freier Gruppen
d. Homomorphismen freier Gruppen
8.2 Präsentationen von Gruppen 253
a. Definitionen
b. Beispiele für Präsentationen
8.3 Der Untergruppensatz für freie Gruppen: Ein Beispiel 259
8.4 Beweis des Untergruppensatzes für freie Gruppen 260
a. Planung des Beweises
b. Schreier-Transversalen
c. Untersuchung der Elemente ax,s
d. Der Beweis des Untergruppensatzes
e. Untergruppen mit endlichem Index
f. Durchschnitt endlich erzeugter Gruppen
Rückblick auf Kapitel 8 266
Anhang A. Zahlentheorie 269
Anhang B. Ein Literaturführer 270
Sachverzeichnis 274
Symbole und Bezeichnungen 278 - 279