Frank Ayres: Algebra. Theorie und Anwendungen

"Das vorliegende Buch kann als Lehrbuch zum Selbststudium, als Begleittext zu einer Vorlesung und als Ergänzung zu den gängigen Standardwerken über algebraische Strukturen verwendet werden. Die angesprochenen Themenkreise werden bewußt nicht erschöpfend behandelt; vielmehr soll eine breite Grundlage zur weiteren Beschäftigung mit der Algebra vermittelt werden.

In den ersten beiden Kapiteln werden die benötigten Grundbegriffe wie Mengen, Relationen, Verknüpfungen, Abbildungen usw. behandelt. Ebenso wie diese beiden ersten Kapitel sind die weiteren nach folgendem didaktischen Prinzip aufgebaut:
(i) einfache und ausführliche Darstellung der Begriffe, Methoden und Lehrsätze;
(ii) Veranschaulichung des Stoffes anhand zahlreicher Beispiele;
(iii) Beweise der wichtigsten Lehrsätze in den Übungsaufgaben;
(iv) zusammenfassende Wiederholung des Stoffes anhand von Ergänzungsaufgaben."

"Der Formalismus der abstrakten Algebra bereitet Studenten in den Anfangssemestern beim Übergang von der Schule zur Hochschule oft Schwierigkeiten. Der vorliegende Band soll das Verständnis für den Umgang mit abstrakten algebraischen Strukturen erleichtern. Dies gelingt dadurch, daß der Autor im ersten Teil des Bandes nach einer kurzen Zusammenstellung der allgemeinen Grundbegriffe die dem Leser von der Schule her vertrauten Zahlensysteme behandelt. Bei einer axiomatischen Entwicklung dieser Zahlensysteme werden anschaulich die Begriffe eingeführt, die dann im zweiten Teil - auf beliebige Mengen verallgemeinert - zu den abstrakten algebraischen Strukturen führen.

Das Buch wendet sich in erster Linie an Studenten der Mathematik, Physik und Informatik. Darüber hinaus spricht es mit Strukturuntersuchungen befaßte Chemiker an sowie Studenten von Fachhochschulen, die mit algebraischen Begriffen arbeiten. Für Hochschullehrer bietet das Buch - wie alle Schaum-Bände - ein großes Reservoir an Übungsaufgaben.

Aufgrund der knappen Zusammenfassung der Theorie ist der Band ein übersichtliches Nachschlagewerk für alle, die bei ihrer Arbeit algebraische Begriffe benötigen."

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1. Mengen 1
Mengen. Gleichheit von Mengen. Teilmengen. Die Grundmenge. Durchschnitt und Vereinigung von Mengen. Venn-Diagramme. Mengenverknüpfungen. Produktmengen. Abbildungen. Eineindeutige Abbildungen. Eineindeutige Abbildungen einer Menge auf sich selbst.

Kapitel 2. Relationen und Verknüpfungen 15
Relationen. Eigenschaften zweistelliger Relationen. Äquivalenzrelationen. Äquivalenzklassen. Geordnete Mengen. Verknüpfungen. Spezielle zweisteIlige Verknüpfungen. Wohldefinierte Verknüpfungen. Isomorphismen. Permutationen. Transpositionen. Algebraische Systeme.

Kapitel 3. Die natürlichen Zahlen 30
Die Peanoschen Axiome. Addition. Multiplikation. Vollständige Induktion. Ordnungsrelation. Vielfache und Potenzen. Isomorphe Systeme.

Kapitel 4. Die ganzen Zahlen 38
Einleitung. Die zweisteIlige Relation ~, Addition und Multiplikation. Die positiven ganzen Zahlen. Die Null und die negativen ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen. Ordnungsrelation. Subtraktion. Der Betrag. Weitere Eigenschaften der ganzen Zahlen. Vielfache und Potenzen.

Kapitel 5. Einige Eigenschaften der ganzen Zahlen 49
Teiler. Primzahlen. Größter gemeinsamer Teiler. Der Euklidische Algorithmus. Ganze Zahlen, die prim zueinander sind. Primfaktoren. Kongruenzen. Das System der Restklassen modulo m. Lineare Kongruenzen. Stellenwertdarstellung der ganzen Zahlen.

Kapitel 6. Die rationalen Zahlen 60
Die rationalen Zahlen. Addition und Multiplikation. Einbettung der ganzen Zahlen. Ordnungsrelationen. Reduzierte Brüche. Dezimalbrüche.

Kapitel 7. Die reellen Zahlen 65
Einleitung. Dedekindsche Schnitte. Positive Schnitte. Multiplikative inverse Elemente. Additive inverse Elemente. Multiplikation. Subtraktion und Division. Ordnungsrelation. Eigenschaften der reellen Zahlen. Zusammenfassung.

Kapitel 8. Die komplexen Zahlen 75
Das System C der komplexen Zahlen. Addition und Multiplikation. Eigenschaften der komplexen Zahlen. Subtraktion und Division. Polarkoordinatendarstellung. Wurzeln. Primitive Einheitswurzeln.

Kapitel 9. Gruppen 82
Gruppen. Folgerungen aus den Gruppenaxiomen. Untergruppen. Zyklische Gruppen. Permutationsgruppen. Homomorphismen. Isomorphismen. Nebenklassen. Normalteiler, Faktorgruppen. Produkte von Untergruppen. Kompositionsreihen.

Kapitel 10. Ringe 101
Ringe. Folgerungen aus den Ringaxiomen. Unterringe. Verschiedene Arten von Ringen. Charakteristik. Nullteiler. Homomorphismen und Isomorphismen. Ideale. Hauptideale. Primideale und maximale Ideale. Faktorringe. Euklidische Ringe.

Kapitel 11. Integritätsbereiche, Schiefkörper, Körper 114
Integritätsbereiche. Einheit. Assoziierte Elemente. Teiler. Teilbereiche. Angeordnete Integritätsbereiche. Der Divisionsalgorithmus. Eindeutige Faktorzerlegung. Schiefkörper. Körper.

Kapitel 12. Polynome 124
Einführung. Polynomformen. Normierte Polynome. Division. Kommutative Polynomringe mit Einselement. Substitutionsverfahren. Der Polynomkörper F[x]. Primpolynome. Der Polynomkörper C(x]. Größter gemeinsamer Teiler. Eigenschaften des Polynomkörpers F[x].

Kapitel 13. Vektorräume 143
Einführung. Vektorräume. Unterraum eines Vektorraums. Lineare Abhängigkeit. Basen eines Vektorraumes. Vektorräume über R. Lineare Transformationen. Die Algebra linearer Transformationen.

Kapitel 14. Matrizen 164
Einführung. Quadratische Matrizen. Universelle Matrixalgebra. Matrizen der Ordnung m x n. Lösungen linearer Gleichungssysteme. Elementare Umformungen einer Matrix. Obere, untere Dreiecksmatrizen. Diagonalmatrizen. Staffelform. Elementare Spaltenumformungen. Elementare Matrizen. Die Inverse einer nichtsingulären Matrix. Minimalpolynom einer quadratischen Matrix. Lineare Gleichungssysteme. Determinanten einer quadratischen Matrix. Eigenschaften von Determinanten. Berechnung von Determinanten.

Kapitel 15. Matrizenpolynome 198
Matrizen mit Polynomelementen. Elementare Umformungen. Normalformen. Polynome mit Matrixelementen. Divisionsalgorithmus. Die charakteristischen Wurzeln und Vektoren einer Matrix. Ähnliche Matrizen. Reelle symmetrische Matrizen. Orthogonale Matrizen. Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung.

Kapitel 16. Lineare Algebren 219
Lineare Algebra. Ein Isomorphismus.

Kapitel 17. Boolesche Algebren 222
Boolesche Algebra. Boolesche Funktionen. Normalformen. Überführung der Formen ineinander. Ordnungsrelation in einer Booleschen Algebra. Algebra elektrischer Schaltnetzwerke. Vereinfachung von Netzwerken.
Sachverzeichnis 239
Symbole 245

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