Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis iii
Vorwort viii
Hinweise x
Kapitel 1 Matrizen 1
1. Matrizenkalkül 1
2. Zeilenreduktion 10
3. Determinanten 20
4. Permutationsmatrizen 26
5. Cramersche Regel 30
Aufgaben 33
Kapitel 2 Gruppen 40
1. Die Definition einer Gruppe 40
2. Untergruppen 47
3. Isomorphismen 51
4. Homomorphismen 54
5. Äquivalenzrelationen und Partitionen 56
6. Nebenklassen 61
7. Einschränkung von Homomorphismen auf Untergruppen 64
8. Produkte von Gruppen 66
9. Rechnen mit Kongruenzen 69
10. Faktorgruppen 72
Aufgaben 76
Kapitel 3 Vektorräume 87
1. Reelle Vektorräume 87
2. Abstrakte Körper 91
3. Basen und Dimension 97
4. Rechnen mit Basen 105
5. Unendlichdimensionale Vektorräume 111
6. Direkte Summen 113
Aufgaben 115
Kapitel 4 Lineare Abbildungen 122
1. Die Dimensionsformel 122
2. Lineare Abbildungen und Matrizen 125
3. Endomorphismen und Eigenvektoren 129
4. Das charakteristische Polynom 134
5. Orthogonale Matrizen und Drehungen 138
6. Diagonalisierbarkeit 146
7. Systeme von Differentialgleichungen 149
8. Die Exponentialabbildung für Matrizen 155
Kapitel 5 Symmetrie 173
1. Symmetrie ebener Figuren 173
2. Die Bewegungsgruppe der Ebene 175
3. Endliche Gruppen von Bewegungen 181
4. Diskrete Gruppen von Bewegungen 185
5. Abstrakte Symmetrie: Gruppenoperationen 196
6. Die Operation auf Nebenklassen 200
7. Zerlegen und Zählen 202
8. Permutationsdarstellungen 204
9. Endliche Untergruppen der Drehgruppe 207
Aufgaben 211
Kapitel 6 Mehr über Gruppen 221
1. Operationen einer Gruppe auf sich 221
2. Klassengleichung der Ikosaedergruppe 225
3. Operationen auf Teilmengen 228
4. Die Sylowschen Sätze 230
5. Die Gruppen der Ordnung 12 235
6. Rechnen in der symmetrischen Gruppe 237
7. Die freie Gruppe 245
8. Erzeugende und Relationen 248
9. Der Todd-Coxeter-Algorithmus 252
Aufgaben 259
Kapitel 7 Bilinearformen 269
1. Definition einer Bilinearform 269
2. Symmetrische Bilinearform 275
3. Geometrie und positiv definite Bilinearformen 281
4. Hermitesche Formen 283
5. Der Spektralsatz 287
6. Kegelschnitte und Quadriken 290
7. Der Spektralsatz für normale Endomorphismen 293
8. Schiefsymmetrische Bilinearformen 295
9. Zusammenfassung der Ergebnisse für Matrizen 296
Aufgaben 298
Kapitel 8 Lineare Gruppen 307
1. Klassische lineare Gruppen 307
2. Die spezielle unitäre Gruppe SU2 309
3. Die orthogonale Darstellung von SU2 314
4. Die spezielle lineare Gruppe SL2(R) 320
5. Einparameteruntergruppen 322
6. Lie-Algebran 326
7. Translation in einer Gruppe 332
8. Einfache Gruppen 337
Aufgaben 342
Kapitel 9 Darstellungen von Gruppen 307
1. Definition einer Darstellung 351
2. Invariante Formen und unitäre Darstellungen 354
3. Kompakte Gruppen 357
4. Invariante Unterräume und irreduzible Darstellungen 359
5. Charaktere 361
6. Permutationsdarstellungen und die reguläre Darstellung 367
7. Darstellungen der Ikosaedergruppe 370
8. Eindimensionale Darstellungen 371
9. Das Schursche Lemma und der Beweis der Orthogonalitätsrelationen 372
10. Darstellungen der Gruppe SU2 377
Aufgaben 383
Kapitel 10 Ringe 394
1. Definition eines Ringes 394
2. Formale Konstruktion von ganzen Zahlen und Polynomen 397
3. Homomorphismen und Ideale 403
4. Restklassenringe und Relationen in einem Ring 411
5. Adjunktion von Elementen 416
6. Integritätsbereiche und Quotientenkörper 421
7. Maximale Ideale 424
8. Algebraische Geometrie 427
Aufgaben 434
Kapitel 11 Faktorzerlegung 446
1. Faktorzerlegung von ganzen Zahlen und Polynomen 446
2. Faktorielle Ringe, Hauptidealringe und euklidische Ringe 449
3. Das Gaußsche Lemma 457
4. Explizite Zerlegung von Polynomen 462
5. Primelemente im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen 466
6. Ganze algebraische Zahlen 470
7. Faktorzerlegung in imaginär-quadratischen Zahlkörpern 476
8. Faktorzerlegung von Idealen 481
9. Der Zusammenhang zwischen Primidealen und Primzahlen 487
10. Idealklassen in imaginär-quadratischen Zahlkörpern 488
11. Reell-quadratische Zahlkörper 497
12. Einige diophantische Gleichungen 501
Aufgaben 505
Kapitel 12 Moduln 516
1. Die Definition eines Moduls 516
2. Matrizen, freie Moduln und Basen 518
3. Das Prinzip der universellen Gültigkeit von Identitäten 522
4. Diagonalisierbarkeit von ganzzahligen Matrizen 524
5. Erzeugende und Relationen für Moduln 531
6. Der Struktursatz für abelsche Gruppen 539
7. Anwendung auf Endomorphismen von Vektorräumen 545
8. Freie Moduln über Polynomringen 552
Aufgaben 553
Kapitel 13 Körper 563
1. Beispiele von Körpern 563
2. Algebraische und transzendente Elemente 564
3. Der Grad einer Körpererweiterung 568
4. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 572
5. Symbolische Adjunktion von Nullstellen 579
6. Endliche Körper 583
7. Funktionenkörper 590
8. Transzendente Erweiterungen 601
9. Algebraisch abgeschlossene Körper 603
Aufgaben 607
Kapitel 14 Galoistheorie 614
1. Der Hauptsatz der Galoistheorie 614
2. Kubische Gleichungen 621
3. Symmetrische Funktionen 626
4. Primitive Elemente 631
5. Beweis des Hauptsatzes 635
6. Gleichungen vierten Grades 640
7. Kummersche Erweiterungen 647
8. Kreisteilungserweiterungen 649
9. Gleichungen fünften Grades 652
Aufgaben 658
Anhang Vorkenntnisse 670
1. Mengenlehre 670
2. Beweistechniken 675
3. Topologie 679
4. Der Satz über implizite Funktionen 684
Aufgaben 686
Symbol verzeichnis 688
Literaturhinweise 691
Stichwortverzeichnis 694 - 705